\documentclass[10pt,a4paper]{report}
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\begin{document}
\section{Convergence}
\subsection{Th��or��mes de convergence}
\subsubsection{Suites de Cauchy}
Question : est-il possible de savoir si une suite converge sans conna��tre sa limite ?
L'id��e intuitive est que les termes d'une suite convergente doivent ��tre proches les uns des autres �� partir d'un certain rang.
C'est la notion de suite de Cauchy qui se formalise de la mani��re suivante.

\paragraph{D��finition}
Soit $(U_n) \in  \mathbb{R}^\mathbb{N}$. On dit que $(U_n)$ est une suite de Cauchy si pour tout $\varepsilon > 0$ les distances entre les termes $U_n$ et $U_{n+k}$ sont inf��rieures �� $\varepsilon$ �� partir d'un certain rang.

$$ \forall \varepsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N}, \forall k \in \mathbb{N}, \forall n \in \mathbb{N}, n \ge n_0 \implies \left| U_n - U_{n+k} \right| < \varepsilon$$

\paragraph{Th��or��me}
Si une suite de r��els converge alors c'est une suite de Cauchy.

\paragraph{D��monstration}
$$\left| U_n - U_{n+k} \right| = \left| U_n - l + l - U_{n+k} \right| \le  \left| U_n - l \right| + \left| l - U_{n+k} \right| $$

On fixe $\varepsilon > 0$ alors 
$$ \exists n_0, n>n_0 \implies  \left| U_n - l \right| < \frac{\varepsilon}{2}\: et \left| l - U_{n+k} \right| < \frac{\varepsilon}{2}  \implies\left| U_n - U_{n+k} \right| < \varepsilon $$

\paragraph{Th��or��me}
Dans $\mathbb{R}$ toute suite de Cauchy converge.

Ce n'est pas le cas dans $\mathbb{Q}$ o�� par exemple la s��rie $\sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{1}{n!}$ converge vers e qui n'appartient pas �� $\mathbb{Q}$.

\subsubsection{Suites adjacentes}
\paragraph{D��finition}
Les suites $((U_n), (V_n)) \in  \mathbb{R}^\mathbb{N}\times\mathbb{R}^\mathbb{N}$ sont dites adjacentes si :
\begin{enumerate}
\item $(Un)$ est croissante et $(V_n)$ est d��croissante

\item Pour tout $n \ge 0$, on a $U_n \ge V_n$

\item $\lim_{n \to +\infty} (V_n - U_n) = 0$\\
\end{enumerate}

\paragraph{Remarque} 
Les termes sont ordonn��s $U_0 \le U_1 \le ... \le U_n \le ... \le V_n \le .. \le V_1 \le V_0$.\\

\paragraph{Th��or��me}
Si les suites $((U_n), (V_n)) \in  \mathbb{R}^\mathbb{N}\times\mathbb{R}^\mathbb{N}$ sont adjacentes elles convergent vers la m��me limite.\\

\paragraph{D��monstration}
$(U_n)$ croissante et major��e par $V_0$, donc elle converge vers $l$.\\
$(V_n)$ d��croissante et minor��e par $U_0$, donc elle converge vers $l'$.\\
Donc $l - l' = \lim_{n \to +\infty} (V_n - U_n) = 0 \implies l = l'$

\subsubsection{Suites adjacentes}
\paragraph{D��finition}
 Soit $\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ une application strictement croissante.
 Soit $(U_n) \in  \mathbb{R}^\mathbb{N}$ une suite r��elle.
 Une suite extraite ou sous suite est de la forme $(U_{\varphi(n)})$.
 
\paragraph{Th��or��me}
 Soit $(U_n) \in  \mathbb{R}^\mathbb{N}$, si $lim_{n \to +\infty} U_n = l$ alors pour toute suite extraite on a $lim_{n \to +\infty} U_{\varphi(n)} = l$
 
\paragraph{D��monstration}
Voir que $ \forall n \in \mathbb{N}, \varphi(n) > n$ (la d��monstration se fait par r��currence).

\paragraph{Corollaire}
Soit $(U_n) \in  \mathbb{R}^\mathbb{N}$. Si elle admet une sous suite divergente ou deux sous suites convergent vers des limites distinctes alors elle diverge.

Exemple :\\
 soit $(U_n) = -1^n$\\
 $\varphi_1 : n \mapsto 2n$\\
 $\varphi_2 : n \mapsto 2n + 1$\\
 alors $(U_{\varphi_1(n)})$ converge vers 1 et $(U_{\varphi_2(n)})$ converge vers -1 et $(U_n)$ est divergente.
 
\subsection{Relations de comparaison}
\subsubsection{D��finitions et notations}
\paragraph{D��finitions}
Soit $((U_n), (V_n)) \in  \mathbb{R}^\mathbb{N}\times\mathbb{R}^\mathbb{N}$\\

$(U_n)$ est domin��e par $(V_n)$ si :

$$ \exists M \in  \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{R},  \left| U_n \right| < M \left| V_n \right| $$

On note $(U_n)=O(V_n)$ (on prononce $(U_n)$ est un grand O de $(V_n)$).\\


$(U_n)$ est n��gligeable devant $(V_n)$ si :

$$ \forall \varepsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N}, \forall n \in \mathbb{N}, n \ge n_0 \implies  \left| U_n \right| < \varepsilon \left| V_n \right| $$

On note $(U_n)=o(V_n)$ (on prononce $(U_n)$ est un petit o de $(V_n)$).\\


$(U_n)$ est ��quivalente �� $(V_n)$ si $(U_n - V_n)$ est n��gligeable devant $V_n$.
$$ \forall \varepsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N}, \forall n \in \mathbb{N}, n \ge n_0 \implies  \left| U_n - V_n \right| < \varepsilon \left| V_n \right| $$

On note $(U_n)\sim(V_n)$.

\subsubsection{Equivalence et limites}
\paragraph{Th��or��me}
Soit $((U_n), (V_n)) \in  \mathbb{R}^\mathbb{N}\times\mathbb{R}^\mathbb{N}$. Si $(U_n)\sim(V_n)$ et si $lim_{n \to +\infty} U_n = l$ alors $lim_{n \to +\infty} V_n = l$. Si $(U_n)$ n'admet pas de limite alors $V_n$ n'admet pas non plus.

\paragraph{D��monstration}
Idem que pour les suites extraites, voir que $\lim_{n \to +\infty} (V_n - U_n) = 0$ et $((U_n)$ converge vers l.
Donc  $lim_{n \to +\infty} (V_n - U_n) =  lim_{n \to +\infty} (U_n) =l$.

\paragraph{En pratique} Pour ��tudier le comportement d'un suite, on tente de lui trouver une suite ��quivalente plus simple.

\subsubsection{Equivalence et comparaison}
\paragraph{Propri��t��s}
Soit $((U_n),(U'_n),(V_n),(V'_n)) \in  \mathbb{R}^\mathbb{N}\times\mathbb{R}^\mathbb{N}\times\mathbb{R}^\mathbb{N}\times\mathbb{R}^\mathbb{N}$. Si $(U_n)\sim(U'_n)$ et $(V_n)\sim(V'_n)$ alors :

\begin{enumerate}
\item si $(U'_n) \sim (V'_n)$ alors $(U_n) \sim (V_n)$
\item si $(U'_n)=O(V'_n)$ alors $(U_n)=O(V_n)$
\item si $(U'_n)=o(V'_n)$ alors $(U_n)=o(V_n)$
\end{enumerate}

\subsubsection{Equivalence des sommes}
\paragraph{Proposition 1}
Soit $((U_n), (V_n)) \in  \mathbb{R}^\mathbb{N}\times\mathbb{R}^\mathbb{N}$.\\ Si $(V_n)=o(U_n)$, alors $(U_n) + (V_n) \sim (U_n)$.\\
(une suite + une suite n��gligeable = une suite ��quivalente).

Exemple : $(2^{3n}) + (3^{2n}) \sim (3^{2n})\, car (8^n) = o(9^n)$

\paragraph{D��monstration} Id��e de preuve : $ \exists \varepsilon > 0, \forall n \in \mathbb{N}, (V_n) = \varepsilon (U_n) \implies (U_n) - (V_n) = (U_n) - \varepsilon (U_n) = (U_n)$

\paragraph{Proposition 2}
Soit $((W_n), (V_n)) \in  \mathbb{R}^\mathbb{N}\times\mathbb{R}^\mathbb{N}$ deux suites n��gligeables devant $(U_n) \in  \mathbb{R}^\mathbb{N}$ alors $(W_n) + (V_n) = o(U_n)$\\

Plus g��n��ralement, la somme d'un nombre fini de suites n��gligeables devant $(U_n)$ reste n��gligeable devant $(U_n)$.\\

Exemple : $(\dfrac{1}{n^2})=o(\dfrac{1}{n}) \implies (\dfrac{3}{n^2})=o(\dfrac{1}{n})$

\subsubsection{Equivalence des produits}
\paragraph{Proposition}
Soit $((U_n),(U'_n),(V_n),(V'_n)) \in  \mathbb{R}^\mathbb{N}\times\mathbb{R}^\mathbb{N}\times\mathbb{R}^\mathbb{N}\times\mathbb{R}^\mathbb{N}$. 
\begin{enumerate}
\item Si $(U_n)\sim(U'_n)$ et $(V_n)\sim(V'_n)$ alors $(U_n)(V_n) \sim (U'_n)(V'_n)$
\item Si $(U_n)=O(U'_n)$ et $(V_n)=O(V'_n)$ alors $(U_n)(V_n)=O(U'_n)(V'_n)$
\item Si $(U_n)=O(U'_n)$ et $(V_n)=o(V'_n)$ alors $(U_n)(V_n)=o(U'_n)(V'_n)$
\item Si $(U_n)=o(U'_n)$ et $(V_n)=o(V'_n)$ alors $(U_n)(V_n)=o(U'_n)(V'_n)$
\end{enumerate}

\paragraph{Remarque}
Ces quatres formules sont g��n��ralisables aux puissance (d��monstration par r��currence).


\end{document}